Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = BC = a , CC ′ = 2a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D' và MN bằng?

Phương pháp giải

Cách 1: Tính trực tiếp bằng cách đưa về khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

Cách 2: Gắn hệ trục tọa độ và sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Giải chi tiết

Cách 1:

\(I = MP \cap AD\),

\(J = IN \cap DD'\),

\(K = AC \cap MP\).

Ta có

                      \[MP\parallel BD \Rightarrow MP\parallel B'D'.\]

  \[ \Rightarrow d(B'D',MN) = d(B'D',(MNP)) = d(D',(MNP)).\]

Lại có

                                                         \[d(D',(MNP)) = D'J.\]

Mặt khác

         \[d(D,(MNP)) = DI,\quad d(A,(MNP)) = 3DI \Rightarrow d(D,(MNP)) = \frac{1}{3}d(A,(MNP)).\]

Dễ thấy

      \[(NAK) \bot (MNP),\quad (NAK) \cap (MNP) = AK,\quad AH \bot NK\;(H \in NK).\]

        \[ \Rightarrow AH \bot (MNP) \Rightarrow d(A,(MNP)) = AH.\]

Suy ra

                                                \[d(MN,B'D') = \frac{5}{3}AH.\]

Với

     \[AN = \frac{{AA'}}{2} = a,\quad AK = \frac{3}{4}\sqrt 2 {\mkern 1mu} AB = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}.\]

Do đó

                     \[d(MN,B'D') = \frac{5}{3} \cdot \frac{{AN \cdot AK}}{{\sqrt {A{N^2} + A{K^2}} }} = \frac{{5a\sqrt {17} }}{{17}}.\]

Cách 2.

Đặt hệ trục Oxyz, chọn \(a = 2\).

Khi đó

      \[M(1;2;0),\quad N(0;0;2),\quad B'(0;2;4),\quad D'(2;0;4).\]

    \[\overrightarrow {MN} = ( - 1; - 2;2),\quad \overrightarrow {B'D'} = (2; - 2;0),\quad \overrightarrow {MB'} = ( - 1;0;4).\]

\[[\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {B'D'} ] = (4;4;6).\]

                 \[d(MN,B'D') = \frac{{\left| {[\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {B'D'} ] \cdot \overrightarrow {MB'} } \right|}}{{\left| {[\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {B'D'} ]} \right|}} = \frac{{|( - 1) \cdot 4 + 0 \cdot 4 + 4 \cdot 6|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {6^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {17} }} = \frac{{5a\sqrt {17} }}{{17}}.\]

Đáp án cần chọn là: A.