Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,AD = b,AA' = c\).

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(AB \bot \left( {ADD'A'} \right)\), suy ra \(AB \bot AD'\) hay tam giác \(ABD'\) vuông tại \(A\).

Kẻ đường cao \(AH\) trong tam giác \(ABD'\), suy ra \(d\left( {A,BD'} \right) = AH\).

Tam giác \(ADD'\) vuông tại \(D\) có:

\(AD' = \sqrt {A{D^2} + D{{D'}^2}}  = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \).

Tam giác \(ABD'\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{{D'}^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{AB \cdot AD'}}{{\sqrt {A{B^2} + A{{D'}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Vậy \(d\left( {A,BD'} \right) = \frac{{a\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB\,{\rm{//}}\,C'D'}\\{AB = C'D'}\end{array}} \right.\]\( \Rightarrow ABC'D'\) là hình bình hành.

Dễ thấy \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AD'\) và \(BC'\) suy ra \(IJ\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABC'D' \Rightarrow IJ\,{\rm{//}}\,AB\), mà \(AB \bot AD'\) nên \(IJ \bot AD'\). (1)

Ta có: \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AB \bot B'C \Rightarrow IJ \bot B'C\). (2)

Mặt khác \(IJ\) cắt cả hai đường thẳng \(AD',B'C\). (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(IJ\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(AD'\) và \(B'C\).

Ta có \(IJ = AB = a\). Vậy khoảng cách hai đường thẳng \(AD'\) và \(B'C\) bằng \(a\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Đúng,      d) Sai.