Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a;AD = 2a;AA' = 2a. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB'C'?

Đáp án A.

Ta có: \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AB \bot BC' \Rightarrow \Delta ABC'\) vuông tại \(B.\)

Lại có: \(B'C' \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow B'C' \bot AB' \Rightarrow \Delta AB'C'\) vuông tại \(B'.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(A'C \Rightarrow IA = IB = IB' = IC' = R.\) Mặt khác, \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật nên \(R = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2} + AA{'^2}} = \frac{{3a}}{2}.\)

Vậy diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABB'C'\) là: \(S = 4\pi {R^2} = 9\pi {a^2}.\)