Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 1 , AD = AA ′ = √ 3 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của A ′B ′ và BC . Góc giữa hai đường thẳng MN và AC bằng

20/50

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 1\,,\,\,AD = AA' = \sqrt 3 .$ Gọi \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của $A'B'$ và \[BC.\] Góc giữa hai đường thẳng \[MN\] và \[AC\] bằng

$90^\circ .$

$30^\circ .$

$60^\circ .$

$50^\circ .$

Giải thích

$Vậy $\left( {MN,\,\,AC} \right) = 60^\circ .$ Chọn C. (ảnh 1)$

Gọi \[P\] là trung điểm của \[AB.\]

Khi đó \[NP\] là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{NP\,{\rm{//}}\,AC}\\{NP = \frac{1}{2}AC}\end{array}} \right..$

Do $NP\,{\rm{//}}\,AC$ nên $\left( {MN,\,\,AC} \right) = \left( {MN,\,\,NP} \right) = \widehat {MNP}.$

Xét tam giác ABC vuông tại $B$ có $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2.$

Do \[M,\,\,P\] lần lượt là trung điểm của $A'B'$ và $AB$ nên $MP = AA' = \sqrt 3 .$

Xét tam giác \[MNP\] vuông tại $P$ có $\tan \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{NP}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {MNP} = 60^\circ .$

Vậy $\left( {MN,\,\,AC} \right) = 60^\circ .$ Chọn C.