Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AA' = 2a$, $A'B' = 2a$, $A'D' = a$. Khoảng cách từ đường

28/50

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AA' = 2a$, $A'B' = 2a$, $A'D' = a$. Khoảng cách từ đường thẳng $AA'$ đến mặt phẳng $\left( {BDD'B'} \right)$ bằng:

$\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

$a\sqrt 2 $.

$\frac{a}{2}$.

$\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Giải thích

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BD$.

$Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AA' = 2a$, $A'B' = 2a$, $A'D' = a$. Khoảng cách từ đường (ảnh 1)$

Do $AA'\,{\rm{//}}\,\left( {BDD'B'} \right)$ nên khoảng cách từ đường thẳng $AA'$ đến mặt phẳng $\left( {BDD'B'} \right)$ bằng khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {BDD'B'} \right)$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AH \bot BD}\\{AH \bot BB'}\end{array}} \right. \Rightarrow AH\, \bot \,\left( {BDD'B'} \right)$.

Do đó $d\left( {AA',\left( {BDD'B'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BDD'B'} \right)} \right) = AH$.

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $A$, ta có $AH$ là đường cao.

$AH = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

Vậy, $d\left( {AA',\left( {BDD'B'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BDD'B'} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$. Chọn A.

50 bài tập Hình học không gian có lời giải

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA' = 2a\), \(A'B' = 2a\), \(A'D' = a\). Khoảng cách từ đường