Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = 2 căn bậc hai của 5, A'B' = 2 căn bậc hai của 5, A'D' = căn bậc hai của 5 Khoảng cách từ đường thẳng AA' đến mặt phẳng (BDD'B) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BD\).

Do \(AA'\,{\rm{//}}\,\left( {BDD'B'} \right)\) nên khoảng cách từ đường thẳng \(AA'\) đến mặt phẳng \(\left( {BDD'B'} \right)\) bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BDD'B'} \right)\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AH \bot BD}\\{AH \bot BB'}\end{array}} \right. \Rightarrow AH\, \bot \,\left( {BDD'B'} \right)\).

Do đó \(d\left( {AA',\left( {BDD'B'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BDD'B'} \right)} \right) = AH\).

Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\), ta có \(AH\) là đường cao.

\[AH = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}} }} = 2\].

Vậy, \(d\left( {AA',\left( {BDD'B'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BDD'B'} \right)} \right) = AH = 2\).