Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD. A'B'C'D'

14/22

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ có $AB = a,AD = b,A{A^\prime } = c$. Khi đó:

$AB \bot \left( {AD{D^\prime }{A^\prime }} \right)$

ĐúngSai

Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B{D^\prime }$ bằng: $\frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

ĐúngSai

Gọi $I,J$ theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật $AD{D^\prime }{A^\prime },BC{C^\prime }{B^\prime }$. Khi đó $IJ$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $A{D^\prime }$ và ${B^\prime }C$.

ĐúngSai

Khoảng cách hai đường thẳng $A{D^\prime }$ và ${B^\prime }C$ bằng $2a$

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

$Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD. A'B'C'D' (ảnh 1)$

Kẻ đường cao $AH$ trong tam giác $AB{D^\prime }$, suy ra $d\left( {A,B{D^\prime }} \right) = AH$.

Vì $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ là hình hộp chữ nhật nên $AB \bot \left( {AD{D^\prime }{A^\prime }} \right)$,

suy ra $AB \bot A{D^\prime }$ hay tam giác $AB{D^\prime }$ vuông tại $A$.

Tam giác $AD{D^\prime }$ vuông tại $D$ có: $A{D^\prime } = \sqrt {A{D^2} + D{D^{\prime 2}}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} $.

Tam giác $AB{D^\prime }$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^{\prime 2}}}} \Rightarrow AH = \frac{{AB \cdot A{D^\prime }}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^{\prime 2}}} }} = \frac{{a\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Vậy $d\left( {A,B{D^\prime }} \right) = \frac{{a\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$.

Vì $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là hình hộp chữ nhật nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//{C^\prime }{D^\prime }}\\{AB = {C^\prime }{D^\prime }}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow AB{C^\prime }{D^\prime }$ là hình bình hành.

Dễ thấy $I,J$ lần lượt là trung điểm của $A{D^\prime }$ và $B{C^\prime }$ suy ra $IJ$ là đường trung bình của hình bình hành $AB{C^\prime }{D^\prime } \Rightarrow IJ//AB$, mà $AB \bot A{D^\prime }$ nên $IJ \bot A{D^\prime }$. (1)

Ta có: $AB \bot \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right) \Rightarrow AB \bot {B^\prime }C \Rightarrow IJ \bot {B^\prime }C$. (2)

Mặt khác $IJ$ cắt cả hai đường thẳng $A{D^\prime },{B^\prime }C$. (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $IJ$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $A{D^\prime }$ và ${B^\prime }C$. Ta có $IJ = AB = a$.