Cho hình hộp chữ nhật ABCD . A ′B ′C ′D ′ có AB = BC = a và CC ′ = 2a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AA ′ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B ′D ′ và

24/25

(1 điểm). Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = a$ và $CC' = 2a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$và $AA'$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B'D'$ và $MN$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Ta có: \[{2^{{x^2} + x}} - (ảnh 1)$

Gọi $P$ là trung điểm $CD$, $I = MP \cap AD$, $J = IN \cap DD'$, $K = AC \cap MP$.

Ta có \[MP{\rm{//}}BD \Rightarrow MP{\rm{//}}B'D' \Rightarrow d\left( {B'D',MN} \right) = d\left( {B'D',\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {D',\left( {MNP} \right)} \right)\].

Lại có $d\left( {D',\left( {MNP} \right)} \right) = \frac{{D'J}}{{DJ}}d\left( {D,\left( {MNP} \right)} \right) = 5d\left( {D,\left( {MNP} \right)} \right)$.

Mặt khác \[d\left( {D,\left( {MNP} \right)} \right) = \frac{{DI}}{{AI}}d\left( {A,\left( {MNP} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {MNP} \right)} \right)\].

Dễ thấy NAK⊥MNPNAK∩MNP=NKAH⊥NK H∈NK trong NAK⇒AH⊥MNP⇒dA,MNP=AH

Suy ra $d\left( {MN,B'D'} \right) = \frac{5}{3}d\left( {A,\left( {MNP} \right)} \right) = \frac{5}{3}AH$với $AN = \frac{{AA'}}{2} = a$; $AK = \frac{3}{4}\sqrt 2 AB = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}$.

Vậy $d\left( {MN,B'D'} \right) = \frac{5}{3}AH = \frac{5}{3} \cdot \frac{{AN \cdot AK}}{{\sqrt {A{N^2} + A{K^2}} }} = \frac{5}{3} \cdot \frac{{\frac{{3a\sqrt 2 }}{4} \cdot a}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{5a\sqrt {17} }}{{17}}$.