Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', trên cạnh AA',BB',CC' lần lượt lấy ba điểm M,N,P sao cho

109/235

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', trên cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho $\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{3}{4}, \frac{{BN}}{{BB'}} = \frac{1}{2}, \frac{{CP}}{{CC'}} = \frac{1}{3}.$ Biết rằng (MNP) cắt D'D tại Q. Tính tỉ số $\frac{{DQ}}{{DD'}}$.

$\frac{5}{6}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{7}{{12}}$

Giải thích

Phương pháp giải

Tìm thiết diện.

Giải chi tiết

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', trên cạnh AA',BB',CC' lần lượt lấy ba điểm M,N,P sao cho (ảnh 1)

Ta có:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(BB'CC')\parallel (AA'DD')}\\{(MNP) \cap (BB'CC') = NP \Rightarrow NP\parallel MQ}\\{(MNP) \cap (AA'DD') = MQ}\end{array}} \right.$

và$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(AABB')\parallel (CCDD')}\\{(MNP) \cap (AABB') = MN \Rightarrow MN\parallel PQ}\\{(MNP) \cap (CCDD') = PQ}\end{array}} \right.$

Từ (1) và (2) suy ra mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp ABCD.A'B'C'D'

theo thiết diện là hình bình hành MNPQ.

Gọi$I = AC \cap BD,\;K = MP \cap NQ$.

Dễ dàng có $IK$ là đường trung bình của hai hình thang ACPM và BDQN nên$IK = \frac{{AM + CP}}{2} = \frac{{BN + DQ}}{2}.$

Suy ra:

$AM = \frac{1}{4}AA',\quad BN = \frac{1}{2}BB' = \frac{1}{2}AA',\quad CP = \frac{2}{3}CC' = \frac{2}{3}AA'.$

Do đó:$DQ = \frac{5}{{12}}DD'.$

Vậy:$\frac{{DQ}}{{DD'}} = \frac{7}{{12}}.$

Đáp án cần chọn: C.