Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương có độ dài cạnh 4a

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Phân tích vecto và tính toán

Lời giải

Gọi \(M\) là trung điểm \(BB'\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {DC} - 4\overrightarrow {A'D'} \\ = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} - 4\overrightarrow {AD} \\ = \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {AD} \\ = 2\overrightarrow {AM} - 4\overrightarrow {AD} \\ = 2(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} ) - 2\overrightarrow {AD} \\ = 2\overrightarrow {DM} + 2\overrightarrow {DA} \end{array}\)

Gọi \(N\) là trung điểm \(AM \Rightarrow 2\overrightarrow {DM} + 2\overrightarrow {DA} = 4\overrightarrow {DN} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {DC} - 4\overrightarrow {A'D'} } \right| = 4\left| {\overrightarrow {DN} } \right| = 4DN\)

Cạnh hình lập phương bằng \(4a\)

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(B\) có: \(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} = 16{a^2} + 4{a^2} = 20{a^2}\)

Xét \(\Delta BDM\) vuông tại \(B\) có:

\(D{M^2} = B{D^2} + B{M^2} = A{D^2} + A{B^2} + B{M^2} = 16{a^2} + 16{a^2} + 4{a^2} = 36{a^2}\)

Trong \(\Delta ADM\) có \(DN\) là trung tuyến ta có:

\(D{N^2} = \frac{{A{D^2} + D{M^2}}}{2} - \frac{{A{M^2}}}{4} = \frac{{16{a^2} + 36{a^2}}}{2} - \frac{{20{a^2}}}{4} = 21{a^2} \Rightarrow DN = a\sqrt {21} \)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {DC} - 4\overrightarrow {A'D'} } \right| = 4a\sqrt {21} \)