Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi G là trọng tâm. Mặt phẳng (P) đi qua G và song song với các đường thẳng BD′, A′D. Gọi K là giao điểm của đường thẳng CD′ và mặt phẳng (P).

Trong hình bình hành \(A'B'C'D'\), gọi \(M\) là giao điểm hai đường chéo \(A'C'\) và \(B'D'\) (tức \(M\) là trung điểm của \(A'C'\)).

Trong , \[D'M\] là đường trung tuyến. Do \(G\) là trọng tâm nên \(G \in D'M\) và \(\frac{{D'G}}{{D'M}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(B'D'\) nên \(D'M = \frac{1}{2}D'B'\). Do đó: \(D'G = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}D'B'} \right) = \frac{1}{3}D'B'\).

Suy ra \(G\) nằm trên đường chéo \(B'D'\) của mặt phẳng đáy trên \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) và thỏa mãn \(\frac{{D'G}}{{D'B'}} = \frac{1}{3}\).

Dựng giao tuyến của \(\left( P \right)\) với các mặt của hình hộp

Xét mặt phẳng chéo \(\left( {BDD'B'} \right)\) chứa đường thẳng \(BD'\) và điểm \(G \in B'D'\).

Trong \(\left( {BDD'B'} \right)\), qua \(G\) kẻ đường thẳng song song với \(BD'\), cắt cạnh \(BB'\) tại \(I\).

Vì \(\left( P \right){\rm{//}}BD'\) nên đường thẳng \(GI\) nằm trong \(\left( P \right)\).

Xét , do \(GI{\rm{//}}BD'\) nên theo định lý Thales suy ra \(\frac{{BI}}{{BB'}} = \frac{{D'G}}{{D'B'}} = \frac{1}{3}\).

Trong mặt bên \(\left( {BCC'B'} \right)\), qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(B'C\), cắt cạnh \(BC\) tại \(J\).

Lại có \(B'C{\rm{//}}A'D\), suy ra \(IJ{\rm{//}}A'D\).

Vì \(\left( P \right){\rm{//}}A'D\) nên đường thẳng \(IJ\) nằm trong \(\left( P \right)\).

Xét , do \(IJ{\rm{//}}B'C\) nên theo định lý Thales suy ra \(\frac{{BJ}}{{BC}} = \frac{{BI}}{{BB'}} = \frac{1}{3}\).

Như vậy, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( {GIJ} \right)\).

Xác định giao điểm \(K\) bằng cách dùng mặt phẳng phụ \(\left( {A'BCD'} \right)\)

Xét mặt phẳng chéo \(\left( {A'BCD'} \right)\): Mặt phẳng này chứa đường thẳng \(BD'\) và \(CD'\).

Ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {A'BCD'} \right)\):

Ta có \(J \in BC \subset \left( {A'BCD'} \right)\) và \(J \in \left( P \right)\) nên \(J\) là một điểm chung.

Lại có hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {A'BCD'} \right)\) lần lượt chứa hai đường thẳng \(GI\) và \(BD'\) song song với nhau.

Như vậy, giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {A'BCD'} \right)\) là đường thẳng qua \(J\) và song song với \(GI\) và \(BD'\) .

Trong mặt phẳng \(\left( {A'BCD'} \right)\), qua \(J\) kẻ đường thẳng song song với \(BD'\) cắt \(CD'\) tại \(K\).

Khi đó \(K\) chính là giao điểm của \(CD'\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Xét , do \(JK{\rm{//}}BD'\) nên theo định lý Thales suy ra \(\frac{{D'K}}{{D'C}} = \frac{{BJ}}{{BC}} = \frac{1}{3}\).

 Từ \(\frac{{D'K}}{{D'C}} = \frac{1}{3}\), ta có: \(KD' = \frac{1}{3}CD'\) và \(KC = CD' - KD' = \frac{2}{3}CD'\).

Vậy \(\frac{{KD'}}{{KC}} = \frac{{\frac{1}{3}CD'}}{{\frac{2}{3}CD'}} = \frac{1}{2} = 0,5\).

KẾT QUẢ:\(0,5\).