Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a và góc BAD = 60o

1. Vì tứ giác ACC'A' là hình thoi và góc A'AC^=60o 

nên tam giác AA'C đều.

Suy ra A'O⊥AC (với O là tâm của hình bình hành ABCD).

Mà ACC'A'⊥ABCD;  ACC'A'∩ABCD=AC.

Do đó A'O⊥ABCD.

Gọi M là trung điểm AM ⇒BM⊥AD (tam giác  đều).

Gọi I là trung điểm MD MD⇒OI⊥AD⇒ góc giữa

hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABCD) bằng A'IO^.

Ta có AC=2AO=2.a32=a3.

Xét tam giác AA'O vuông tại O có: tanA'IO^=A'OOI=23

Xét tam giác BMD có: OI=12BM=a34.

Xét tam giác A'IO vuông tại O có: tanA'IO^=A'OOI=23

2. Ta có SABCD=2SABD=2.12AB.AD.sin60o=a232;  A'O=3a2.

Vậy VACB'D'=13VABCD.A'B'C'D'=13.A'O.SABCD=13.3a2.a232=a334.

3. Vì tam giác ABD đều nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác

trùng với trọng tâm của tam giác  

=> Bán kính đường tròn đáy của hình nón là: r=BM3=a36.

Vì chiều cao của hình nón bằng chiều cao của lăng trụ nên ta có

độ dài đường sinh là l=A'O2−r2=3a22−a362=a1596.

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: 

Sxq=πrl+πr2=πa253+112.