Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D', C'D' và BC.

a) ĐÚNG: Vì \(M \in A'D'\) và \(N \in C'D'\) nên \(M,N \in \left( {A'B'C'D'} \right)\). Mặt khác \(M,N \in \left( {MNP} \right)\), do đó giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) chính là \(MN\).

b) SAI: Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(MP\) và \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( {ABB'A'} \right)\).

Do \(\left( {ABB'A'} \right){\rm{//}}\left( {DCC'D'} \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) cắt các cạnh \(AD,B'C'\) tại \(E,F\) sao cho thiết diện \(MEPF\) là hình bình hành có các cạnh song song với các cạnh hình hộp.

Khi các cạnh hình hộp bằng \(9{\rm{\;cm}}\), độ dài các đoạn thẳng: \(ME = AA' = 9{\rm{\;cm}}\), \(MF = A'B' = 9{\rm{\;cm}}\).

Chu vi tứ giác \(MEPF\) là: \(P = 2 \cdot \left( {ME + MF} \right) = 2 \cdot \left( {9 + 9} \right) = 36{\rm{\;cm}} \ne 18{\rm{\;cm}}\).

c) ĐÚNG: Trong , \(M,N\) là trung điểm của \[A'D',C'D'\] nên \(MN{\rm{//}}A'C'\).

Do \(A'C' \subset \left( {BA'C'} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {BA'C'} \right)\).

Tương tự, xét trung điểm \(P\) của \(BC\) và \(M\) của \(A'D'\), ta có \(MP{\rm{//}}A'B\), mà \(A'B \subset \left( {BA'C'} \right)\).

Vì \(MN,MP \subset \left( {MNP} \right)\) cắt nhau tại \(M\) và cùng song song với \(\left( {BA'C'} \right)\) nên \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {BA'C'} \right)\).

d) ĐÚNG:

Ta có \(D'M = \frac{1}{2}A'D',BP = \frac{1}{2}BC\). Vì \(A'D'{\rm{//}}BC\) và \(A'D' = BC\) nên \(D'M{\rm{//}}BP\) và \(D'M = BP = \frac{1}{2}BC\).

Tứ giác \(BMD'P\) có cặp cạnh đối \(D'M\) và \(BP\) vừa song song vừa bằng nhau.

Suy ra \(BMD'P\) là hình bình hành nên \(BM{\rm{//}}D'P\).

Mà \(D'P \subset \left( {B'PD'} \right)\). Do đó \(BM{\rm{//}}\left( {B'PD'} \right)\).