Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA′, C′D′, AD′. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Xét tam giác AA′D′ có N là trung điểm của AA′, Q là trung điểm của AD′

Do đó NQ là đường trung bình của tam giác AA′D′ ⇒ NQ ∥ A′D′ và NQ = \(\frac{1}{2}\) A′D′.

b) Sai. Ta có MC ⊂ BC. Mặt khác, xét △AA′D′ có NQ là đường trung bình nên NQ ∥ A′D′.

Lại có A′D′ ∥ AD. Do đó NQ ∥ AD. Vì AD ∥ BC nên NQ ∥ MC.

Theo câu a), NQ = \(\frac{1}{2}\)A′D′, mà A′D′ = BC (vì ABCD.A′B′C′D′ là hình hộp)

⇒ NQ = \(\frac{1}{2}\)BC.

Có M là trung điểm BC ⇒ MC = \(\frac{1}{2}\)BC. Vậy suy ra NQ = MC.

Tứ giác MNQC có NQ ∥ MC và NQ = MC ⇒ MNQC là hình bình hành.

Vậy MNQC không phải hình thang cân.

c) Sai. Theo câu b), MNQC là hình bình hành ⇒ MN ∥ QC.

Ta có: Q là trung điểm của AD′ nên Q ∈ AD′ ⊂ (ACD′); C ∈ (ACD′) ⇒ QC ⊂ (ACD′).

Vì MN ∥ QC và QC ⊂ (ACD′). Do đó MN ∥ (ACD′), suy ra MN không cắt mặt phẳng (ACD′).

d) Đúng. Vì BCC′B′ là một mặt bên của hình hộp ABCD.A′B′C′D′.

Theo tính chất của hình hộp, mọi mặt bên đều là hình bình hành.

Do đó BCC′B′ là hình bình hành.