Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi G và G′ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác B′D′A và BDC′. Khi đó: GG′ = kA′C với k = \(\frac{1}{a}\). Giá trị của a bằng bao nhiêu?

Đáp án: 3

Gọi O, O′ và Q lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A′B′C′D′ và AA′C′C.

* Xét △AB′D′ có O′ là trung điểm của B'D' (giao điểm hai đường chéo trong hình bình hành A′B′C′D′) ⇒ AO' là đường trung tuyến của △AB'D'.

Theo đề bài, G là trọng tâm △AB'D' ⇒ G ∈ AO' và AG = \(\frac{2}{3}\) AO' (1).

Xét mặt phẳng (AA'C'C): Ta thấy AO' và A'C lần lượt là hai đường trung tuyến của tam giác AA'C' (vì O' là trung điểm A'C' và Q là trung điểm A'C).

Gọi G₁ là giao điểm của AO' và A'C. Khi đó, G₁ chính là trọng tâm của △AA'C'. Theo tính chất trọng tâm tam giác, ta có: AG₁ = \(\frac{2}{3}\)AO' (2).

Từ (1) và (2) suy ra điểm G ≡ G₁. Do đó, G nằm trên đường chéo A'C và đồng thời là trọng tâm của △AA'C'.

Vì G là trọng tâm △AA'C' và A'Q là đường trung tuyến nên:

A'G = \(\frac{2}{3}\)A'Q = \(\frac{2}{3}\)⋅ \(\left( {\frac{1}{2}A'C} \right)\) = \(\frac{1}{3}\)A'C.

* Chứng minh tương tự, ta có: G' nằm trên đường chéo A'C và đồng thời là trọng tâm của △ACC' ⇒ CG' = \(\frac{2}{3}\)CQ = \(\frac{1}{3}\) A'C.

Ta có: \(\frac{{A'G}}{{A'Q}} = \frac{2}{3}\) ⇒ \(\frac{{A'G}}{{A'C}} = \frac{1}{3}\) ⇒ A′G = \(\frac{1}{3}\)A′C; \(\frac{{CG'}}{{CQ}} = \frac{2}{3}\) ⇒ \(\frac{{CG'}}{{A'C}} = \frac{1}{3}\) ⇒ CG′ = \(\frac{1}{3}\)A′C.

Do đó A′G = GG′ = G′C = \(\frac{1}{3}\)A′C.

Suy ra k = \(\frac{1}{3}\) ⇒ a = 3.