Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết A(1; −1; 1), B(1; 0; 1), C(2; 1; 2), D'(4; 5; −5). Một vectơ \(\overrightarrow v = \left( {a;b;1} \right)\) khác \(\overrightarrow 0 \) vuông góc với cả hai v

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {BA} = \left( {0; - 1;0} \right)\).

Gọi D(x; y; z) suy ra \(\overrightarrow {BD} = \left( {x - 1;y;z - 1} \right)\).

Theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\y = 0\\z - 1 = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\\z = 2\end{array} \right.\).

Suy ra \(\overrightarrow {DD'} = \left( {2;5; - 7} \right)\).

Mặt khác \(\overrightarrow {D'A'} = \overrightarrow {CB} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {DD'} ,\overrightarrow {D'A'} } \right] = \left( { - 12;9;3} \right)\).

Do \(\overrightarrow v = \left( {a;b;1} \right)\) khác \(\overrightarrow 0 \) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow {DD'} \) và \(\overrightarrow {D'A'} \) nên \(\overrightarrow v \) cùng phương với \(\overrightarrow u \).

Khi đó \(\overrightarrow v = \left( { - 4;3;1} \right)\).

Do đó a = −4; b = 3. Vậy −5a + 3b = −5.(−4) + 3.3 = 29.

Trả lời: 29.