Cho hình chữ nhật ABCD, vẽ BH \( \bot \) AC tại H. Gọi O là giao điểm AC và BD, K là trung điểm của AB, BH cắt OK tại G, đường thẳng AG cắt OD tại L. Khẳng dịnh đúng là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D.

∆OAB cân tại O có OK là trung tuyến nên là trung trực.

Suy ra KA = KB.

Xét ∆GKA và ∆GKB có:

KA = KB (chứng minh trên).

\(\widehat {{\rm{GKA}}} = \widehat {{\rm{GKB}}} = 90^\circ \) (OK là trung trực của ∆OAB).

GK chung.

Vậy ∆GKA = ∆GKB (c – g – c).

Khi đó GA = GB (hai cạnh tương ứng) nên ΔGAB cân tại G.

Có GK, AH là các đường cao cắt nhau tại O nên O là trực tâm của tam giác GAB, do đó BO \( \bot \) AG.

Xét  ∆GHO và∆GKB có: \(\widehat {{\rm{GHO}}} = \widehat {{\rm{GKB}}} = 90^\circ \) và \(\widehat {{\rm{KGB}}}\) chung.

Vậy ∆GHO ∽∆GKB (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{GO}}}}{{{\rm{GK}}}} = \frac{{{\rm{GH}}}}{{{\rm{GB}}}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét  ∆GLO và∆GKA có: \(\widehat {{\rm{GLO}}} = \widehat {{\rm{GKA}}} = 90^\circ \) và \(\widehat {{\rm{KGA}}}\) chung.

Vậy ∆GLO ∽ ∆GKA (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{GO}}}}{{{\rm{GK}}}} = \frac{{{\rm{GL}}}}{{{\rm{GA}}}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Từ đó \(\frac{{{\rm{GH}}}}{{{\rm{GB}}}} = \frac{{{\rm{GL}}}}{{{\rm{GA}}}}\) nên LH // AB.