Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh BC,CD lần lượt lấy các điểm K,M sao ch

 

Đặt  BAK^=x, DAM^=y   ( x + y < 90⁰ )

KAM^ lớn nhất ⇔  BAK^+DAM^   nhỏ nhất

⇔ x + y nhỏ nhất ⇔ tan (x + y) nhỏ nhất

Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0)

tan x =BKAB=BKBC.BCAB=4m5

tan y =DMAD=DMDC.DCAD=15m

tan( x +y )= tanx+tany1−tanx.tany=4m5+15m:1−4m5.15m=2521.4m5+15m

tan (x + y) nhỏ nhất ⇔ 4m5+15m nhỏ nhất

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

4m5+15m ≥ 24m5.15m=45

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ 4m5=15m ⇔ m = 12

Vậy x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi m = 12

Do đó KAM^ lớn nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1a