Cho hình chữ nhật ABCD. Tia phân giác của góc A và tia phân giác của góc B cắt nhau tại điểm M. Tia phân giác của góc B và tia phân giác của góc C cắt nhau tại điểm N. Tia phân giác của góc C

Đáp án: 8.

⦁ Ta có DQ là phân giác của \(\widehat {ADC}\) nên \(\widehat {ADQ} = \frac{1}{2}\widehat {ADC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \).

Tương tự, AQ là phân giác của \(\widehat {BAD}\) nên \(\widehat {QAD} = \frac{{\widehat {BAD}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

Xét ∆ADQ có \(\widehat {QAD} + \widehat {ADQ} + \widehat {AQD} = 180^\circ \)

Suy ra \[\widehat {AQD} = 180^\circ - \left( {\widehat {QAD} + \widehat {ADQ}} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ .\]

Do đó \(\widehat {PQM} = 90^\circ \) (đối đỉnh). (1)

Chứng minh tương tự, suy ra \(\widehat {PNM} = 90^\circ \). (2)

⦁ Ta cũng chứng minh được \(\widehat {MBA} = \widehat {MAB} = \widehat {PDC} = \widehat {PCD} = 45^\circ \).

Xét ∆AMB có \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA} = 45^\circ \), suy ra \(\widehat {AMB} = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ \). (3)

Chứng minh tương tự, suy ra \(\widehat {DPC} = 90^\circ \). (4)

Theo (1), (2), (3), (4), suy ra tứ giác MNPQ có bốn góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

⦁ Xét ∆ADQ có \(\widehat {QAD} = \widehat {ADQ} = 45^\circ \), \(\widehat {AQD} = 90^\circ \) suy ra ∆ADQ vuông cân tại Q.

Suy ra AQ = DQ.

Xét ∆AMB và ∆DPC có:

AB = CD (2 cạnh đối của hình chữ nhật)

\(\widehat {MBA} = \widehat {MAB} = \widehat {PDC} = \widehat {PCD} = 45^\circ \).

Vậy ∆AMB = ∆DPC (g.c.g)

Suy ra AM = DP.

Ta có: AQ + QM = AM; DQ + QP = DP.

Suy ra QM = QP.

MNPQ là hình chữ nhật có QM = QP nên MNPQ là hình vuông.

Khi đó diện tích của hình vuông MNPQ cũng có thể được tính như sau:

\[{S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MP \cdot NQ = \frac{1}{2}M{P^2} = \frac{1}{2} \cdot {4^2} = 8\] (cm²).