Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BK vuông góc AC,K thuộc AC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AK và CD. Khi đó, góc BMN bằng bao nhiêu độ?

Lời giải

Trả lời: \(90\).

Đặt \(\overrightarrow {BA}  = \vec a,\overrightarrow {BC}  = \vec b,\overrightarrow {BK}  = \vec c\) và \(BA = a,BC = b,BK = c\).

Khi đó: \(\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec c} \right),\,\,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN}  =  - \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec c} \right) + \vec b + \frac{1}{2}\vec a = \vec b - \frac{1}{2}\vec c = \frac{1}{2}\left( {2\vec b - \vec c} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {BM}  = \frac{1}{4}\left( {2\vec b - \vec c} \right)\left( {\vec a + \vec c} \right) = \frac{1}{4}\left( {2\vec a \cdot \vec b - \vec a \cdot \vec c + 2\vec b \cdot \vec c - {{\vec c}^2}} \right)\)

\( = \frac{1}{4}\left[ {2\vec a \cdot \vec b + \left( {\vec b - \vec a} \right)\vec c + \left( {\vec b - \vec c} \right)\vec c} \right]{\rm{. }}\)

Ta thấy rằng: \(\vec a \cdot \vec b = 0\) (do \(\vec a \bot \vec b\)); \(\left( {\vec b - \vec a} \right)\vec c = \overrightarrow {AC}  \cdot \vec c = 0\) (do \(AC \bot BK\));

         \(\left( {\vec b - \vec c} \right)\vec c = \overrightarrow {KC}  \cdot \vec c = 0\) (do \(CK \bot BK\)).

Vì vậy \(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {BM}  = 0 \Rightarrow \widehat {BMN} = 90^\circ \).