Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AH vuông góc với BD tại H

a) Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {BAD} = 90^\circ .\)

Vì \(AH\) vuông góc với \(BD\) tại \(H\) nên \(\widehat {AHB} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBA\) có \(\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {ABH}\) chung.

Do đó  (g.g).

b) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HAD\) có: \(\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {ADH}\) chung.

Do đó  (g.g).

Suy ra\(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(A{D^2} = BD \cdot DH.\)

Mà \(AD = BC\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật) nên \(B{C^2} = BD \cdot DH.\)

c) Vì \(DE\) là đường phân giác của \(\Delta ABD\) nên \(\widehat {ADI} = \widehat {HDI}\).

Chứng minh  (g.g) nên \(\widehat {DIH} = \widehat {IEA}.\)

Mà \(\widehat {DIH} = \widehat {AIE}\) (đối đỉnh) suy ra \(\widehat {IEA} = \widehat {AIE}.\) Do đó \(\Delta AIE\) cân tại \(A\).

Xét \(\Delta ADH\) có \(DI\) là đường phân giác nên \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}.\)

Mà \(AE = AI\) (\(\Delta AIE\) cân tại \(A\))  (1)

Từ câu b, ta có: \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) nên \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{DH}}{{AD}}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AD}}{{BD}}. & (*)\)

Xét \(\Delta ADB\) có \(DE\) là đường phân giác nên \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BE}}. & (**)\)

Từ (*) và (**) suy ra \(\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AE}}{{EB}}.\) Do đó \(A{E^2} = IH \cdot EB.\)

Vậy \(\Delta AIE\) cân tại \(A\) và \(A{E^2} = IH \cdot EB.\)