Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ AH vuông góc BD tại H. Kẻ DE là đường phân giác của tam giác ABD Gọi I là giao điểm của DE và AH

Đáp án:               a) Đ.           b) S.           c) S.           d) Đ.

⦁Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HAD\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ \); \(\widehat {BDA} = \widehat {ADH}\)

Suy ra, (g.g). Do đó ý a) đúng.

⦁ Ta thấy \[\widehat {AIE} = \widehat {HID}\] (hai góc đối đỉnh).

Tam giác \(IDH\) vuông tại \(H\) nên \[\widehat {HID}\] không phải là góc vuông nên \[\widehat {AIE}\] cũng không phải là góc vuông.

Suy ra, tam giác \(AIE\) không vuông tại \(I.\) Do đó ý b) sai.

⦁ Vì nên \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) hay \[A{D^2} = BD.DH\].

Mà \[AD = BC\] (do \[ABCD\] là hình chữ nhật)

Suy ra \[B{C^2} = BD.DH\] (đpcm)

⦁Vì \(DE\) là đường phân giác của tam giác \(ABD\) nên \(\widehat {ADE} = \widehat {EDB}\).

Ta có: (cmt) nên \(\widehat {DBA} = \widehat {HAD}\) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(\widehat {DBA} + \widehat {EDB} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}\) (1)

Xét \(\Delta AID\) có \(\widehat {AIE} = \widehat {IAD} + \widehat {IDA} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}\) (tính chất góc ngoài) (2)

Xét \(\Delta DEB\) có \(\widehat {AEI} = \widehat {EBD} + \widehat {BDE}\) (tính chất góc ngoài ) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {AIE} = \widehat {AEI}\).

Do đó, \(\Delta AIE\) cân tại \(A\), suy ra \(AE = AI\).

Xét \(\Delta ADH\), có \(DI\) là đường phân giác nên \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}.\)

Mà \(AE = AI\) (cmt) nên \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\), suy ra \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{DH}}{{DA}}\), do đó\(\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AD}}{{BD}}\).

Mà \(\Delta ADB\) có \(DE\) là đường phân giác nên \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}\).

Khi đó \(\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AE}}{{EB}}\) hay \(A{E^2} = IH.EB\) (đpcm). Do đó ý d) đúng.

Vậy:                     a) Đ.           b) S.           c) S.           d) Đ.