Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC, AD. Biết rằng AM vuông góc MD ;AM = 6 cm , khi đó độ dài đoạn thẳng BN bằng bao nhiêu cm?

17/20

Cho hình chữ nhật $ABCD.$ Gọi $M,\;N$ lần lượt là trung điểm của $BC,\;AD.$ Biết rằng $AM \bot MD,\;AM = 6\;{\rm{cm}},$ khi đó độ dài đoạn thẳng $BN$ bằng bao nhiêu ${\rm{cm}}?$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Đáp án: $6$

$Cho hình chữ nhật $ABCD.$ Gọi $M,\;N$ lần lượt là trung điểm của $BC,\;AD.$ Biết rằng $AM \bot MD,\;AM = 6\;{\rm{cm}},$ khi đó độ dài đoạn thẳng $BN$ bằng bao nhiêu ${\rm{cm}}?$ (ảnh 1)$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat {ABM} = \widehat {BAN} = \widehat C = 90^\circ ,\;AB = CD.$

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = MC.$

Tam giác $ABM$ và tam giác $DCM$ có: $\widehat {ABM} = \widehat C = 90^\circ ,\;AB = CD,\;BM = MC.$

Do đó, $\Delta ABM = \Delta DCM\left( {c - g - c} \right)$ nên $AM = DM.$

Suy ra, $\Delta ADM$ cân tại $M.$ Do đó, $MN$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của $\Delta ADM.$

Do đó, $\widehat {ANM} = 90^\circ .$

Tứ giác $ANMB$ có: $\widehat {ABM} = \widehat {BAN} = \widehat {ANM} = 90^\circ $ nên tứ giác $ANMB$ là hình chữ nhật $\left( 1 \right).$

Suy ra: $\widehat {BMN} = 90^\circ \;\left( 2 \right).$

Vì $AM \bot MD$ nên $\widehat {AMD} = 90^\circ .$

Vì $MN$ là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của $\Delta ADM$ nên

$\widehat {AMN} = \frac{1}{2}\widehat {AMD} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \;\left( 3 \right).$

Từ $\left( 2 \right),\;\left( 3 \right)$ ta có: $MA$ là tia phân giác của $\widehat {BMN}\;\left( 4 \right).$

Từ $\left( 1 \right),\;\left( 4 \right)$ ta có: Tứ giác $ANMB$ là hình vuông. Do đó, $BN = AM = 6\;{\rm{cm}}.$