Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm của BC và E là giao điểm của đường thẳng AM với đường thẳng DC. a) Chứng minh rằng: tứ giác ABEC là hình bình hành b) Gọi F là điểm đối xứng của B

a) Xét Tam giác ABM và Tam giác ECM có:

MB=CM (M là trung điểm của BC)

AMB^=EMC^ (đối đỉnh),

ABM^=ECM^ (so le trong và AB//CD)

Do đó ΔABM=ΔECM(g.c.g)

Suy ra: AB=EC (hai cạnh tương ứng)

Mà AB//EC

Do đó tứ giác ABEC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Ta có AB=CD, AB=CE

Suy ra: CD=CE

Tứ giác BEFD có:

C là trung điểm của DE,

C là trung điểm của BF (B và F đối xứng của C)

Do đó tứ giác BEFD là hình bình hành Mà BF vuông góc với DE 

Vậy tứ giác BEFD là hình thoi

c) Ta có BC=CF, CM=BM=BC/2 (M là trung điểm của BC)

Suy ra FC=23FM 

Tam giác AEF có FM là đường trung tuyến, C thuộc đoạn thẳng FM và FC=23FM⇒C là trọng tâm của tam giác AEF.

d) Tam giác ABC vuông tại B ⇒AB2+BC2=AC2 (định lí Py-ta-go)

Mà AB2=3.BC2

Do đó AC2=4BC2⇒AC=2AB(AC>0) 

Gọi O là giao điểm của AC, BD

Ta cóAC=BD, O là trung điểm của AC, BD

Nên AC=BD=BF

Mặt khác O, H lần lượt là trung điểm của BD, DF

⇒ HO là đường trung bình của tam giác DBF ⇒HO=BF2

Tam giác HAC có HO là đường trung tuyến và HO=AC2(=BF2)⇒ΔHAC vuông tại H ⇒AHC=90° 

Mà C, H lần lượt là trung điểm của DE, DF suy ra CH là đường trung bình của tam giác DEF suy ra CH//EF⇒AKE^=AHC^=90° 

Ta có tam giác KAE vuông tại K, KM là đường trung tuyến

Do đó KM=AE2

Vậy AE=2MK.