Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 36 cm. Tia phân giác của góc A và tia phân giác của góc B cắt nhau tại cùng một điểm E nằm trên cạnh CD

a) Đúng. Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat D = 90^\circ .\)

Do \(AE\) là phân giác góc \(\widehat A = 90^\circ \) nên \(\widehat {DAE} = \frac{1}{2}\widehat A = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .\)

Tam giác \(ADE\) có \(\widehat D = 90^\circ \) và \(\widehat {DAE} = 45^\circ \) nên tam giác này vuông cân tại \(D.\)

b) Sai. Vì tam giác \(ADE\) vuông cân tại \(D\) suy ra \(AD = DE.\)

Chứng minh tương tự ta có \(\Delta BCE\) vuông cân tại \(C\) nên \(CB = CE.\)

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AD = BC\).

Do đó \(CD = DE + EC = AD + BC = 2AD.\)

c) Sai. Chu vi hình chữ nhật là \(2\left( {AD + CD} \right) = 36\) (cm).

Suy ra \(2\left( {AD + 2AD} \right) = 36\)

\(6AD = 36\)

\(AD = 6\) cm.

Khi đó \(CD = 2AD = 2 \cdot 6 = 12\) cm.

d) Đúng. Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là \(S = AD \cdot CD = 6 \cdot 12 = 72\) (cm²).

Diện tích tam giác vuông \(ADE\) là \({S_{ADE}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18\) (cm²).

Diện tích tam giác vuông \(BCE\) là \({S_{BCE}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18\) (cm²).

Tổng diện tích hai tam giác này là \(18 + 18 = 36\) (cm²).

Diện tích tam giác \(ABE\) chính là phần diện tích còn lại của hình chữ nhật: \({S_{ABE}} = 72 - 36 = 36\) (cm²).

Vậy \({S_{\Delta ABE}} = {S_{\Delta ADE}} + {S_{\Delta BCE}} = 36\) cm².