Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 28 cm, cạnh AB dài hơn cạnh BC là 2 cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Hãy tính diện tích của tứ giác MNPQ (đơn vị: c

Đáp án: 24.

Gọi độ dài cạnh AB là a (cm) và độ dài cạnh BC là b (cm) với a, b > 0.

Theo đề bài, chu vi hình chữ nhật ABCD bằng 28 cm, ta có:

2(a + b) = 28 suy ra a + b = 14 (1)

Mặt khác, cạnh AB dài hơn cạnh BC là 2 cm, ta có:

a – b = 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(a = \frac{{14 + 2}}{2} = 8\) (cm).

Từ đó b = 14 – 8 = 6 cm.

Vậy hình chữ nhật có AB = 8 cm và BC = 6 cm.

Vì M là trung điểm của AB nên \(MA = MB = \frac{1}{2}AB.\)

Vì N, Q lần lượt là trung điểm của BC, AD nên \(NB = NC = \frac{1}{2}BC,\,\,QA = QD = \frac{1}{2}AD.\)

Mà BC = AD (tính chất hình chữ nhật) nên QA = NB.

Xét ∆AMQ vuông tại A và ∆BMN vuông tại B có:

MA = MB và QA = NB

Do đó ∆AMQ = ∆BMN (hai cạnh góc vuông).

Suy ra MQ = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta có MQ = MN = PN = PQ.

Như vậy tứ giác MNPQ là hình thoi.

Hai đường chéo của hình thoi MNPQ lần lượt là MP và NQ.

Tứ giác BCPM có PC // MB và PC = MB nên nó là hình bình hành.

Suy ra MP = BC = 6 cm.

Chứng minh tương tự ta có NQ = AB = 8 cm.

Diện tích của hình thoi MNPQ bằng nửa tích hai đường chéo:

\[{S_{MNPQ}} = \frac{{MP \cdot NQ}}{2} = \frac{{6 \cdot 8}}{2} = 24\] (cm²).