Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD . Trên tia đối của tia BC lấy điểm E ( E ≠ B )

                                                                                

a) Do \(ED \bot FD\) nên \(\Delta EDF\) vuông tại D.

Khi đó E, F, D cùng thuộc đường tròn đường kính EF.

Vì \(\Delta BEF\) vuông tại B (ABCD  là hình chữ nhật) nên B, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính EF.

Vậy E, F, B, D cùng thuộc đường tròn đường kính EF.

b) Xét \(\Delta FKH\)và \[\Delta FEB\] có:

\(\widehat {EFB}\) chung; \(\widehat {FHK} = \widehat {FBE} = {90^ \circ }\)

Do đó

Nên \(\frac{{FK}}{{FE}} = \frac{{FH}}{{FB}}\) hay \(FK.FB = FE.FH\) (1)

Xét \(\Delta FHD\) và \(\Delta FDE\) có:

\(\widehat {DFE}\) chung; \(\widehat {FHD} = \widehat {FDE} = {90^ \circ }\)

Do đó

Nên \(\frac{{FH}}{{FD}} = \frac{{FD}}{{FE}}\) hay \(F{D^2} = FE.FH\) (2)

Xét \(\Delta FAD\) và \(\Delta FDI\) có:

\(\widehat {DFI}\) chung; \(\widehat {FAD} = \widehat {FDI} = {90^ \circ }\)

Do đó

Nên \(\frac{{FD}}{{FI}} = \frac{{FA}}{{FD}}\) hay \(F{D^2} = FI.FA\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(FK.FB = FI.FA\)

c) Xét \(\Delta FHD\) và \(\Delta FAD\) là hai tam giác vuông.

Tương tự câu a.

Do đó \(A,H,D,F\) thuộc đường tròn đường kính \(FD\) hay tứ giác \(AHFD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(FD.\)

Suy ra \(\widehat {FAH} = \widehat {FDH}\)

Mà \(\widehat {FDH} = \widehat {DEH} = \widehat {DCH} = \widehat {CAB}\)

Hơn nữa \(\widehat {FAH} + \widehat {BAH} = {180^ \circ }\) nên \(\widehat {CAB} + \widehat {BAH} = {180^ \circ }\) hay \(H,A,C\). thẳng hàng (AC cố định)

Vậy khi điểm E di chuyển trên tia đối của tia BC thì điểm H luôn chạy trên một đường cố định AC.