Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD. Các tia phân giác góc A và B cắt nhau tại M; phân giác góc B và C cắt nhau tại N; phân giác góc C và D cắt nhau tại P; phân giác của góc A và D cắt nhau

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Vì AQ là phân giác của \(\widehat {BAD}\) nên \(\widehat {QAD} = \frac{{\widehat {BAD}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

b) Đúng. Chứng minh tương tự ý a) ta có \(\widehat {ADQ} = 45^\circ \).

Xét ∆ADQ có \(\widehat {QAD} + \widehat {ADQ} + \widehat {AQD} = 180^\circ \)

Suy ra \[\widehat {AQD} = 180^\circ - \left( {\widehat {QAD} + \widehat {ADQ}} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ .\]

c) Đúng. Chứng minh tương tự a), có \(\widehat {MBA} = \widehat {MAB} = \widehat {PDC} = \widehat {PCD} = 45^\circ \).

Xét ∆AMB và ∆DPC có:

AB = CD (2 cạnh đối của hình chữ nhật)

\(\widehat {MBA} = \widehat {MAB} = \widehat {PDC} = \widehat {PCD} = 45^\circ \).

Vậy ∆AMB = ∆DPC (g.c.g)

Suy ra AM = DP.

d) Sai. Theo b) có \(\widehat {AQD} = 90^\circ \) nên \(\widehat {PQM} = 90^\circ \) (đối đỉnh). (1)

Chứng minh tương tự, suy ra \(\widehat {PNM} = 90^\circ \). (2)

Xét ∆AMB có \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA} = 45^\circ \), suy ra \(\widehat {AMB} = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ \). (3)

Chứng minh tương tự, suy ra \(\widehat {DPC} = 90^\circ \). (4)

Theo (1), (2), (3), (4), suy ra MNPQ là hình chữ nhật.

Ta có: AQ + QM = AM; DQ + QP = DP. (5)

∆ADQ có \(\widehat {QAD} = \widehat {ADQ} = 45^\circ \), \(\widehat {AQD} = 90^\circ \) suy ra ∆ADQ vuông cân tại Q.

Suy ra AQ = DQ. (6)

Theo c) có DP = AM. (7)

Theo (5), (6), (7), suy ra QM = QP.

MNPQ là hình chữ nhật có QM = QP nên MNPQ là hình vuông.