Cho hình chữ nhật ABCD có AB = √ 2 , AD = 1 . Góc giữa hai vec tơ −−→ AC và −−→ BD có số đo gần nhất với giá trị nào sau đây?

16/24

Cho hình chữ nhật \(ABCD\)có \(AB = \sqrt 2 ,\,AD = 1\). Góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \) có số đo gần nhất với giá trị nào sau đây?

\(89^\circ \);

\(92^\circ \);

\(109^\circ \);

\(91^\circ \).

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} \cdot \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \)

\( = AC \cdot AD \cdot \cos \widehat {CAD} - AC \cdot AB \cdot \cos \widehat {BAC}\)

\( = AC \cdot AD \cdot \frac{{AD}}{{AC}} - AC \cdot AB \cdot \frac{{AB}}{{AC}} = A{D^2} - A{B^2} = {1^2} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = - 1\).

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AC = BD = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \).

Ta lại có: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD} } \right) \Leftrightarrow - 1 = \sqrt 3 \cdot \sqrt 3 \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD} } \right) = - \frac{1}{3} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD} } \right) \approx 109^\circ 28'\).