Cho hình chữ nhật ABCD,AB = 4a,AD = 3a. Gọi M là trung điểm của AB,G là trọng tâm tam giác ACM như hình dưới.
69/84
Cho hình chữ nhật \(ABCD,AB = 4a,AD = 3a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB,G\) là trọng tâm tam giác \(ACM\) như hình dưới.
\(\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - 3\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BG} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)
\(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\).
\(\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = - {a^2}.\)
Lời giải
a) Sai b) Sai c) Đúng d) Sai
Ta có: \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACM\) nên
\(3\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BC = AD = 3a,\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\).
Ta có: \(\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)
\( = \frac{1}{4} \cdot {\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3} \cdot {\left( {3a} \right)^2} = {a^2}.\)