Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm

Gọi H là trung điểm của cạnh AB nên SH ^ AB

Mặt khác (SAB) ^ (ABCD) Þ SH ^ (ABCD)

Gọi F là trung điểm của MN, ΔCMN vuông tại C nên F là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCMN

Qua F kẻ d₁ // SH Þ d₁ ^ (ABCD)

Ta có:

+)  HN=12AC=a22

⇒SN=a322+a222=a52

+)  MN=12BD=a22

+)  SM=SH2+HM2=a322+a2=a72

Suy ra SN² + MN² = SM²

Do đó tam giác SMN vuông tại N

Gọi E là trun điểm của SM, qua E kẻ d₂ ^ (SMN) sao cho d₂ Ç d₁ = I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN.

Dễ thấy ΔHMN vuông cân tại N 

⇒MN⊥HNMN⊥SH⇒MN⊥SHN⇒MN⊥SN

⇒SMN; ABCD^=SN; HN^=SNH^

Ta có:  d1⊥ABCDd2⊥SMN

⇒d1; d2^=SMN; ABCD^=SNH^=EIF^<90°

⇒tanEIF^=tanSNH^=SHSN=a32a22=32

Có EI ^ (SMN) Þ EI ^ EF

Do đó ∆EIF vuông tại E

⇒IE=EFtanEIF^=SN2tanEIF^=a522 . 32=a3012.

Xét tam giác vuông SIE có:

 IS=IE2+SE2=IE2+SM24=a9312=R.

Vậy bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN là:  a9312.