Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, SA=2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy

Chọn C

Gọi E,F lần lượt là giao điểm của BD với CM và CN. Gọi O là tâm  hình vuông ABCD.
Theo giả thiết, ta có BD⊥SAC
Gọi H là hình chiếu của O lên BC
⇒SC⊥HEF
Vì SMC⊥SNC nên HE⊥HF
⇒ΔHEF vuông tại H có chiều cao OH.
⇒OE.OF=OH2
Trong đó: OH=OC.sinSCA^=OC.SASC=26⇒OE.OF=226=23 (1).
Đặt AM=x,  (x>0), AN=y,   (y>0).
Xét ΔABC, gọi K là trung điểm của AM.

Khi đó: OK//CM ⇒BEOE=BMMK ⇒OB−OEOE=2−xx2=22−xx⇒OBOE=4−xx⇒OE=2x224−xChứng minh tương tự, ta có: OF=2y224−y
Từ (1) suy ra 4xy24−x4−y=23 ⇔3xy=4−x4−y⇔x+2y+2=12(2) 
Ta lại có: SAMCN=SAMC+SANC=12AC.AM.sin45o+12AC.AM.sin45o=x+y
⇒VS.AMCN=13SA.x+y=23x+y
Từ (2) suy ra VS.AMCN=23x−2+12x+2
Từ (2) suy ra y=12x+2−2
Vì N thuộc cạnh AD nên y≤2⇒12x+2−2≤2⇔x≥1⇒x,y∈1;2
Xét hàm số: f(x)=23x−2+12x+2, với x∈1;2
Ta có: f'(x)=231−12x+22=23.x2+4x−8x+22
f'(x)=0⇔x2+4x−8=0⇔x=23−1
Ta lại có:f1=f2=2 , f2(3−1)=83−13.
Giá trị lớn nhất của VS.AMCN=2 khi x=1,y=2 hoặc x=2,y=1 .
⇒T=1AM2+1AN2=422+122=54