Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có AB=BC cắn bậc hai của 5, AC=2BC căn bậc hai của 2, hình chiếu

36/37

Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có AB=BC5, AC=2BC2, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm O của cạnh AC. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc α thay đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng ab, trong đó a,b∈ℕ∗, a là số nguyên tố. Tổng a+b bằng:

Giải thích

Media VietJack

Gọi H là hình chiếu của O lên SB.

Ta có: OB=2BC2+2BA2−AC24=BC,OC=12AC=BC2

Suy ra OB⊥BC

Dễ thấy ∠SBO=α và OH=dO;SBC=12dA;SBC=1

Suy ra SO=OHcosα=1cosα,OB=OHsinα=1sinα

⇒BC=OB=1sinα

Thể tích khối chóp S.ABC là:

VS.ABC=13SO.SABC=13SO.2SOBC =13.1cosα.1sinα2=13cosα.sin2α

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

1=12sin2α+12sin2α+cos2α≥3.14sin4α.cos2α3⇔127≥14.sin4α.cos2α⇒1sin2αcos2α≥332⇒VS.ABC≥32

Vậy minVS.ABC=32. Dấu “=” xảy ra ⇔cos2α=12sin2α=13⇔cosα=33

⇒a=3, b=2
Vậy a+b=3+2=5

Đáp án cần chọn là: B