Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên ( SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD) bằng a căn bậc hai
46/50
Cho hình chóp tứ giác \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông, mặt bên \[\left( {SAB} \right)\] là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] bằng \(a\sqrt 3 \). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).
\(V = \frac{{7{a^3}\sqrt {21} }}{6}\).
\(V = \frac{{7{a^3}\sqrt {21} }}{2}\).
\(V = \frac{{7{a^3}\sqrt 7 }}{6}\).
\(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 7 }}{2}\).
Lời giảiChọn A
Gọi \(E\) là trung điểm \(CD\). Kẻ \(HK \bot SE\) tại \(K\).Vì \(AH{\rm{//}}CD\) nên \(d(A,(SCD)) = d(H,(SCD)) = HK\).Gọi độ dài cạnh hình vuông là \(x\).Ta có: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{4}{{3{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{x^2}}} \Leftrightarrow x = a\sqrt 7 \).\(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 7 .\frac{{\sqrt 3 }}{2}.7{a^2} = \frac{{7{a^3}\sqrt {21} }}{6}\).