Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết tam giác SBD đều và có diện tích bằng a^2 căn bậc hai 3. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABC

10/22

Cho hình chóp tứ giác \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông và \[SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\]. Biết tam giác \[SBD\] đều và có diện tích bằng \[{a^2}\sqrt 3 .\] Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] bằng:

\[45^\circ \].

\[60^\circ \].

\[90^\circ \].

\[75^\circ \].

Giải thích

Đáp án đúng là A

Đáp án đúng là A (ảnh 1)

Ta có: \[{S_{ABD}} = \frac{{B{D^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \Rightarrow SB = BD = 2a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AD = AB = a\sqrt 2 \\SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \end{array} \right.\]
Mặt khác \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\] và \[AD \bot CD\]
Khi đó: \[\left( {\widehat {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {AD,SD}} \right) = \widehat {SDA}\] và \[\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = 1 \Rightarrow \widehat {SDA} = 45^\circ .\]