Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, \[\widehat {BAD} = 120^\circ \], cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45°.

Vẽ hình bình hành ACBE,ta có AC//(SBE) nên

d(AC,SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE)).Kẻ đường cao AF của tam giác ABE, đường cao AH của tam giác SAF suy ra \[AH \bot \left( {SBE} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBE} \right)} \right) = AH\]

Từ giả thiết và cách vẽ ta có:

Tam giác ABE là tam giác đều \[ \Rightarrow AF = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

Tam giác ABC là tam giác đều \[ \Rightarrow AC = AB = a.\]

Tam giác SAC vuông cân tại A \[ \Rightarrow SA = AC = a.\]

Xét tam giác SAF vuông ở A, đường cao AH, ta có

\[AH = \frac{{SA.AF}}{{SF}} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \frac{3}{4}{a^2}} }} = a\sqrt {\frac{3}{7}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\]