Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB//CD, AB = 2CD. Gọi O là giao điểm của AC và BD, E là điểm trên cạnh SD thoả mãn SE = 2ED

a) Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có điểm chung đầu tiên là \(S\). Trong hai mặt phẳng này lần lượt chứa hai đường thẳng song song là \(AB\) (thuộc \(\left( {SAB} \right)\)) và \(CD\) (thuộc \(\left( {SCD} \right)\)).

Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng song song, giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với cả \(AB\) và \(CD\).

Vậy \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d\).

b) Xét trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), vì \(AB{\rm{//}}CD\) nên và đồng dạng với nhau. Từ đó suy ra tỉ số tương ứng: \(\frac{{OD}}{{OB}} = \frac{{CD}}{{AB}}\).

Theo giả thiết đề bài ra, \(AB = 2CD \Rightarrow \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{1}{2}\). Do đó: \(\frac{{OD}}{{OB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{OD}}{{BD}} = \frac{{OD}}{{OD + OB}} = \frac{1}{{1 + 2}} = \frac{1}{3}\).

Xét trên cạnh \(SD\), ta có điểm \(E\) thỏa mãn \(SE = 2ED \Rightarrow SD = SE + ED = 2ED + ED = 3ED\). Từ đó suy ra tỉ số: \(\frac{{ED}}{{SD}} = \frac{1}{3}\).

Xét trong tam giác \(SBD\), ta có tỉ số trên hai cạnh \(BD\) và \(SD\): \(\frac{{OD}}{{BD}} = \frac{{ED}}{{SD}} = \frac{1}{3}\).

Theo định lý Thales đảo trong tam giác \(SBD\), ta có \(OE{\rm{//}}SB\).

Mà ta lại có đường thẳng \(SB\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), đồng thời đường thẳng \(OE\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) (\(OE \not\subset \left( {SAB} \right)\)).

Từ hai điều kiện trên, ta kết luận: .