Cho hình chóp tứ giác S . ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật, , và SA vuông góc với ( ABCD ) . Biết góc giữa ( SCD ) và đáy bằng 60 độ. Lấy điểm I thuộc cạnh SD sao cho SI = 1/2 ID

Góc giữa \[\left( {SCD} \right)\]và \(\left( {ABCD} \right)\)là \(\widehat {SDA} = 60^\circ \).

Ta có:\(SA = AD.\tan 60^\circ  = \sqrt {39} .\sqrt 3  = 3\sqrt {13} \) và \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}}  = 2\sqrt {39} \).

Theo giả thiết \(SI = \frac{1}{2}ID \Rightarrow SI = \frac{1}{3}SD = \frac{2}{3}\sqrt {39} \) và \(ID = \frac{{4\sqrt {39} }}{3}\).

Ta có:\(CD//\left( {ABI} \right) \Rightarrow d\left( {CD,AI} \right) = d\left( {CD,\left( {ABI} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {ABI} \right)} \right)\).

Trong\[\left( {SAD} \right)\]. Kẻ \(DP \bot AI\) tại P. Ta có \(AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot DP\).

Do đó \(DP \bot \left( {ABI} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( {ABI} \right)} \right) = DP\).

\(I{A^2} = S{I^2} + S{A^2} - 2SI.SA.\cos \widehat {ISA}\)\( = {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {39} } \right)^2} +  + {\left( {3\sqrt {13} } \right)^2} - 2.\frac{2}{3}\sqrt {39} .3\sqrt {13} .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{169}}{3}\)\( \Rightarrow IA = \frac{{13\sqrt 3 }}{3}\).

\({S_{\Delta ADI}} = \frac{1}{2}DI.DA.\sin \widehat {ADI} = \frac{1}{2}.\frac{{4\sqrt {39} }}{3}.\sqrt {39} .\sin 60^\circ  = 13\sqrt 3 \)

Và \({S_{\Delta ADI}} = \frac{1}{2}DP.AI \Rightarrow 13\sqrt 3  = \frac{1}{2}.\frac{{13\sqrt 3 }}{3}.DP \Rightarrow DP = 6\).

Vậy \(d\left( {CD,AI} \right) = 6\).