Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là tâm của đáy ABCD, được gắn vào hệ trục toạ độ Oxyz
16/22
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\), \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\), được gắn vào hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ. Biết cạnh \(SA = AB = 3\sqrt 2 \) và điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\). Khi đó:
Độ dài đoạn \(BG = 6\sqrt 2 \).
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 0\).
Tọa độ điểm \(C\) là \(\left( {0;6;0} \right)\).
Nếu \(K\left( {0;m;n} \right)\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(KG + KB\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \({m^2} + {n^2} = \frac{9}{8}\).
a) Sai.
Do \(SA = SB = AB = 3\sqrt 2 \) nên \(\Delta SAB\) đều, có trọng tâm \(G\)\( \Rightarrow BG = 3\sqrt 2 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).
b) Đúng.
c) Sai.
Hình vuông \(ABCD\) có \(AB = 3\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 \times \sqrt 2 }}{2} = 3 \Rightarrow C\left( {0;3;0} \right)\).
d) Đúng.
Ta có: \(A\left( {0; - 3;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right)\), \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} - {3^2}} = 3 \Rightarrow S\left( {0;0;3} \right)\).
Suy ra, tọa độ trọng tâm: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 + 3 + 0}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{ - 3 + 0 + 0}}{3} = - 1\\{z_G} = \frac{{0 + 0 + 3}}{3} = 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1; - 1;1} \right)\).
Gọi \(G'\) là điểm đối xứng với \(G\) qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)\( \Rightarrow G'\left( { - 1; - 1;1} \right)\).
Xét \(KG + KB = KG' + KB \ge G'B\), dấu bằng xảy ra khi ba điểm \(B\), \(K\), \(G'\) thẳng hàng.
Khi đó: \(\overrightarrow {G'K} = \left( {1;m + 1;n - 1} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {G'B} = \left( {4;1; - 1} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{{m + 1}}{1} = \frac{{n - 1}}{{ - 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{3}{4}\\n = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {m^2} + {n^2} = \frac{9}{8}\).