Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách từ tâm O của đáy tới mặt phẳng (SCD) bằng

40/78

Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có tất cả các cạnh đều bằng \[a\]. Khoảng cách từ tâm \[O\] của đáy tới mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] bằng

\[\frac{a}{{\sqrt 2 }}\].

\[\frac{a}{2}\].

\[\frac{a}{{\sqrt 6 }}\].

\[\frac{a}{{\sqrt 3 }}\]

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách từ tâm O của đáy tới mặt phẳng (SCD) bằng (ảnh 1)

Gọi \[M\] là trung điểm của \[CD\]\( \Rightarrow CM = \frac{a}{2}\)

H là hình chiếu vuông góc của \[O\] lên \[SM \Rightarrow OH \bot SM\,(*)\].

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}OM \bot CD\\SM \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot OH(**)\]

Từ (*), (**) suy ra \[OH \bot \left( {SCD} \right)\] khi đó \[d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\].

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh a nên \(BD = a\sqrt 2 \Rightarrow BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có \[SO = \sqrt {S{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]; \[OM = \frac{a}{2}\].

Xét \(\Delta SMC\)vuông tại \(M\), có \(SM = \sqrt {S{C^2} - C{M^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta lại có \[{S_{\Delta SOM}} = OH.SM = SO.OM \Rightarrow OH = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\].