Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định mặt phẳng chứa \(SB\) và song song với \(MN\)

Lời giải

Gọi \(P\) là trung điểm \(SA\). Khi đó \(NP\) là đường trung bình trong tam giác \(SAD\)

\( \Rightarrow NP//AD,NP = \frac{1}{2}AD\)

Ta lại có: \(MB = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD\)

Do đó \(BMNP\) là hình bình hành \( \Rightarrow MN//BP \Rightarrow MN//\left( {SAB} \right)\)

Khi đó:

\(d\left( {MN,SB} \right) = d\left( {MN,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right)\)

Từ \(O\) kẻ \(OH \bot AB\left( {H \in AB} \right),OK \bot SH\left( {K \in SH} \right)\)

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot OH}\\{AB \bot SO}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow AB \bot OK} \right.\). Mà \(OK \bot SH\)

\( \Rightarrow OK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OK\)

Có \(AB = a \Rightarrow OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Mà \(SA = a \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Ta lại có \(OH = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}\).Khi đó: \(OK = \frac{{SO.OH}}{{\sqrt {S{O^2} + O{H^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Vậy: \(d\left( {MN,SB} \right) = OK = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)