Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) bằng

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông.

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD = a\sqrt 2  \Rightarrow BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SO = \sqrt {S{B^2} - B{O^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(OD\) ta có \(MH//SO\) nên \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(MH = \frac{1}{2}SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Do đó góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là \(\widehat {MBH}\).

Có \(BH = BO + HO = BO + \frac{{OD}}{2} = \frac{3}{2}BO\)

Khi đó ta có \(\tan \widehat {MBH} = \frac{{MH}}{{BH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}}} = \frac{1}{3}\).

Vậy tang của góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\frac{1}{3}\).