Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng 60o và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.
Giải thích
Chọn B
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO⊥ABCD⇒SO⊥AB.
Ta có: S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
AB⊂SAB; CD⊂SCD; AB//CD.
Suy ra hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng △ đi qua S, song song với AB và CD.
Gọi H; K lần lượt là trung điểm của AB và CD => HK đi qua O và HK⊥AB.
Ta có: SO⊥ABHK⊥AB⇒AB⊥SHK⇒Δ⊥SHK (Do Δ//AB).
⇒SAB ; SCD^=SH ; SK^=60°⇒SH⊥SK⇒Tam giác SHK là tam giác đều.
Kẻ KP vuông góc SH tại P.
Do CD//AB⊂SAB⇒CD//SAB nên dCD;AB=dCD;SAB=dK;SAB=a
Khi đó ta có: KP⊥SHKP⊥AB⇒KP⊥SAB⇒dK;SAB=KP=a⇒SO=a và HK=2a3(Do tam giác SHK là tam giác đều)
Suy ra SABCD=HK2=4a23.
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: VS.ABCD=13SO.SABCD=13a.4a23=49a3