Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a. Tính tích vô hướng AS.CD

6/22

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có độ dài tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} \).

\(\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} = - \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

\(\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} = - \frac{{{a^2}}}{2}.\)

\(\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} = \frac{{{a^2}}}{2}.\)

\(\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Giải thích

Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \).

Mặt khác, tam giác \(SAB\) có tất cả các cạnh bằng \(a\) nên là tam giác đều, suy ra góc \(\widehat {SAB} = 60^\circ \).

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AS} \) và \(\overrightarrow {CD} \) tương đương với góc giữa \(\overrightarrow {AS} \) và \(\overrightarrow {BA} \).

Ta có: \(\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {BA} = AS \cdot BA \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {BA} } \right)\).

Vì góc giữa \(\overrightarrow {AS} \) và \(\overrightarrow {BA} \) bằng \(180^\circ - \widehat {SAB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Vậy \(\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} = a \cdot a \cdot \cos 120^\circ = {a^2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{{{a^2}}}{2}\).

Chọn B.