Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a căn 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm hình vuông ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

Ta có: AB//CD mà CD⊂SCD nên AB//(SCD).

Khi đó dAB,SC=dAB,SCD=dM,SCD.

Trong (SMN) kẻ  MI⊥SN, I∈SN(1).

Lại có: CD⊥MNCD⊥SO⇒CD⊥SMN⇒CD⊥MI(2).

Từ (1) và (2) ta có MI⊥SCD⇒dM,SCD=MI.

Xét tam giác SAC có SA=SC=AC=a2 nên ΔSAC đều.

Do đó SO=a2⋅32.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD

Suy ra MN = AB = a.

Xét ΔSCD cân tại C (do SC - SD) có SN là đường trung tuyến.

⇒SN⊥CD.

Áp dụng định lí Pythagore trong ΔSCN có:

Vì SSMN=12MI⋅SN=12SO⋅MN⇒MI⋅SN=SO⋅MN

⇒MI=SO⋅MNSN=a62⋅aa72=a427. .

Vậy dAB,CD=a427.