Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy bằng 2a, SA tạo với đáy một góc 30 độ. Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và CD

Lời giải

Gọi \(O = AC \cap BD\). Ta có \(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 2a\sqrt 2  = a\sqrt 2 .\)

Vì \[SA\] tạo với đáy một góc \(30^\circ \) nên \(\widehat {SAO} = 30^\circ \).

Do đó: \(\tan 30^\circ  = \frac{{SO}}{{AO}}\)\( \Rightarrow SO = AO \cdot \tan 30^\circ \)\( = a\sqrt 2  \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)

Mặt khác, \(d = d\left( {SA,CD} \right) = d\left( {CD,\left( {SAB} \right)} \right)\)\( = d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right)\).

Gọi \[I\], \[J\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của \[O\] lên \(AB\), \(SI\). Ta có \(OI = a.\)

Xét tam giác \(SOI\):\({\rm{ }}\frac{1}{{O{J^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{2{a^2}}} = \frac{5}{{2{a^2}}}\)\( \Rightarrow O{J^2} = \frac{{2{a^2}}}{5}\)\( \Rightarrow OJ = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\).

Vậy \(d = \frac{{2\sqrt {10} a}}{5}\). Chọn A.