Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Côsin của góc nhị diện [D, SA, B] là −xy (với x/y là phân số tối giản, x, y thuộc N∗). Tính P = x − y

Đáp án: -2.

Kẻ \(OH \bot SA\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot OH\\SA \bot DB\end{array} \right.\), suy ra \(SA \bot \left( {BHD} \right)\).

\(\left[ {B,SA,D} \right] = \widehat {BHD}\).

\(BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\(S{O^2} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{2}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{2}}} = \frac{4}{{{a^2}}}\), suy ra \(OH = \frac{a}{2}\).

\(\tan \widehat {BHO} = \tan \alpha  = \frac{{BO}}{{HO}} = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{a}{2}}} = \sqrt 2 \).

\[\cos \left( {\left[ {B,SA,D} \right]} \right) = \cos 2\alpha  = \frac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 2}} =  - \frac{1}{3}\].

Vậy \(P = 1 - 3 =  - 2\).