Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, tâm của đáy là $O$

13/22

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, tâm của đáy là $O$ với $SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm cạnh $AD$ và $BC$. Khi đó:

$(SMN) \bot (ABCD)$

ĐúngSai

$(SAD) \bot (SMN)$

ĐúngSai

((SBC),(ABCD))=30°

ĐúngSai

((SBC),(SCD))≈80,52°.

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $O$ là tâm của đáy nên $SO \bot (ABCD)$. Mặt khác $MN$ là đường trung bình của hình vuông $ABCD$ nên $MN$ qua $O$.

$Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, tâm của đáy là $O$ (ảnh 1)$

Vậy $SO \subset (SMN) \Rightarrow (SMN) \bot (ABCD)$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD \bot MN}\\{AD \bot SO}\end{array} \Rightarrow AD \bot (SMN)} \right.$,

mà $AD \subset (SAD) \Rightarrow (SAD) \bot (SMN)$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC//AD}\\{AD \bot (SMN)}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow BC \bot (SMN) \Rightarrow BC \bot MN$.

Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBC) \cap (ABCD) = BC}\\{ON \bot BC,SN \bot BC}\\{ON \subset (ABCD),SN \subset (SBC)}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow ((SBC),(ABCD)) = (SN,ON) = \widehat {SNO}$.

Vì $ON$ là đường trung bình tam giác $ABC$ nên $ON = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}$.

Tam giác $SON$ vuông tại $O$ có: tanSNO^=SOON=a32a2=3⇒SNO^=60°

Vậy ((SBC),(ABCD))=SNO^=60°

Kẻ đường cao $DI$ của tam giác $SCD$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SC \bot DI}\\{SC \bot BD({\rm{ do }}BD \bot (SAC))}\end{array} \Rightarrow SC \bot (IBD) \Rightarrow SC \bot BI} \right.$.

Mặt khác $SC = (SBC) \cap (SCD)$ nên $((SBC),(SCD)) = (ID,IB)$.

$Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, tâm của đáy là $O$ (ảnh 2)$

Ta có $IO \bot BD$ và $O$ là trung điểm $BD$

nên $\Delta IBD$ cân tại $I$ và $\widehat {OIB} = \widehat {OID} = \frac{1}{2}\widehat {BID}$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = OD$.

Tam giác $SOC$ có đường cao

$OI = \frac{{SO \cdot OC}}{{\sqrt {S{O^2} + O{C^2}} }} = \frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}$

Tam giác $IOD$ vuông tại $O$ có:

$\tan \widehat {OID} = \frac{{OD}}{{OI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{3};\tan \widehat {BID} = \frac{{2\tan \widehat {OID}}}{{1 - {{\tan }^2}\widehat {OID}}} = - \sqrt {15} < 0$ nên $\widehat {BID}$ là góc tù.

Vậy ((SBC),(SCD))=(ID,IB)=180°−BID^≈75,52°.

Đề kiểm tra Hai mặt phẳng vuông góc (có lời giải) - Đề 2

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), tâm của đáy là \(O\)