Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 4, cạnh bên bằng 6, O là giao điểm của AC và BD. Gọi N là trung điểm của cạnh SC

a) Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) (tính chất đường chéo hình vuông) và \(N\) là trung điểm của \(SC\) nên \(ON\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\).

Do đó \(\overrightarrow {ON} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} \).

Ta có \(\overrightarrow {ON} \cdot \overrightarrow {CD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} \).

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \). Do đó \(\overrightarrow {ON} \cdot \overrightarrow {CD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {BA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AB} = - \frac{1}{2} \cdot AS \cdot AB \cdot {\rm{cos}}\widehat {SAB}\).

Xét tam giác \(SAB\) có \(SA = SB = 6\) và \(AB = 4\). Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(SAB\):

\({\rm{cos}}\widehat {SAB} = \frac{{A{S^2} + A{B^2} - S{B^2}}}{{2 \cdot AS \cdot AB}} = \frac{{{6^2} + {4^2} - {6^2}}}{{2 \cdot 6 \cdot 4}} = \frac{{16}}{{48}} = \frac{1}{3}\).

Thay vào biểu thức tích vô hướng: \(\overrightarrow {ON} \cdot \overrightarrow {CD} = - \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{3} = - 4\).

b) Ta có \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\) nên \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \) và \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \).

Do đó: \(\vec u = 4\overrightarrow {SO} \). Suy ra \(\left| {\vec u} \right| = 4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO\).

Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(4 \Rightarrow BD = 4\sqrt 2 \Rightarrow OD = 2\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông \(SOD\) tại \(O\) có: \(SO = \sqrt {S{D^2} - O{D^2}} = \sqrt {{6^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 \).

Vậy \(\left| {\vec u} \right| = 4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO = 8\sqrt 7 \approx 21,2\).