Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có thể dựng một mặt phẳng chứa một trong hai đường và song song với đường còn lại, rồi tính khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường còn lại đến mặt phẳng vừa dựng được.

Lời giải

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\). Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Diện tích hình vuông \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = {(2a)^2} = 4{a^2}\).

Ta có \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} \Rightarrow SO = \frac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{3.\frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}}}{{4{a^2}}} = a\sqrt 3 \).

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(AB\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(SK\).

Khi đó \(OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow {d_{\left[ {O,\left( {SAB} \right)} \right]}} = OH\) và \(OK = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).

Ta có \(CD//\left( {SAB} \right)\) nên \({d_{\left( {SA,CD} \right)}} = {d_{\left[ {D,\left( {SAB} \right)} \right]}}\).

Mặt khác \(DO \cap \left( {SAB} \right) = B \Rightarrow \frac{{{d_{\left[ {D,\left( {SAB} \right)} \right]}}}}{{{d_{\left[ {O,\left( {SAB} \right)} \right]}}}} = \frac{{DB}}{{OB}} = 2 \Rightarrow {d_{\left[ {D,\left( {SAB} \right)} \right]}} = 2{d_{\left[ {O,\left( {SAB} \right)} \right]}}\).

Do đó \({d_{\left( {SA,CD} \right)}} = 2{d_{\left[ {O,\left( {SAB} \right)} \right]}} = 2OH = \frac{{2OK.OS}}{{\sqrt {O{K^2} + O{S^2}} }} = \frac{{2.a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2} + {{(a\sqrt 3 )}^2}} }} = a\sqrt 3 \).